Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，若周長為，斜邊上中線為2．
（1）求這個直角三角形的面積；
（2）求這個直角三角形內切園的面積；
（3）若這個直角三角形兩個銳角的正切tgA和tgB是一個一元二次方程的兩個根，求這個一元二次方程？

Answer 1

解：（1）設三邊為a，b，c，
∵斜邊上中線為2，
∴c=4
且??，
∴S_△ABC=3，

（2）設內切圓半徑為r，則，
∴，

（3）tgA•tgB=1，，
∴一元二次方程為，
即3x²-8x+3=0．
分析：（1）首先根據直角三角形的性質：斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得到c=4，再根據已知條件得到關于a，b的方程組，可解出ab=6，進而可得到直角三角形的面積．
（2）由（1）可解得a+b=2，則內切圓半徑=，求出半徑后再用圓的面積公式S=πr²，求出直角三角形內切圓的面積；
（3）根據條件直角三角形兩個銳角的正切tgA和tgB是一個一元二次方程的兩個根，求出tgA•tgB與tgA+tgB，再根據根與系數的關系寫出方程即可．
點評：此題主要考查了直角三角形的性質，根與系數的關系，三角形的內切圓與圓心，以及三角函數的應用，準確把握每個知識點是解題的關鍵，很多同學由于基礎知識掌握不好導致錯誤的出現．