Question

已知拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+c滿足如下三個條件：a+c=3，ac=-4，a＜c．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B（A在B的左邊），與y軸的交點為C．
①在第一象限內，這條拋物線上有一點P，AP交y軸于點D，若OD=

3

2

，試比較S_△APC與S_△AOC的大小；
②在第一象限內，這條拋物線上是否存在點P′，使得S△AP′C=S△AOC？若存在，請求出點P′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將a+c=3，ac=-4組合，利用a＜c，即可確定a，c的值；
（2）①利用點P在拋物線y=-x²+4上的第一象限內的點，得出m＞0，n＞0，且n=-m²+4，進而求出OG=

5

4

，再利用已知求出S_△PDC，S_△AOD的面積，進而得出S_△APC與S_△AOC的大小關系；
（2）利用平行線分線段成比例定理得出

AO

AM

=

OD′

P′M

，以及利用三角形面積關系得出S△AOD′=S△P′CD′，進而求出m的值，即可求出點P′的坐標．

解答：解：（1）由

a+c=3 ac=-4

解得：

a1=-1 c1=4

或

a2=4 c2=-1

，
∵a＜c，
∴

a2=4 c2=-1

（不合題意，舍去），
∴a=-1，c=4，
∴所求的拋物線的解析式為：y=-x²+4；

（2）①在拋物線y=-x²+4中，令y=0，
得x=±2；
當x=0時，y=4，
∴A、B、C三點的坐標分別為（-2，0），（2，0），（0，4）．
過點P作PG⊥x軸于G，設點P的坐標為（m，n），
∵點P在拋物線y=-x²+4上的第一象限內的點，
∴m＞0，n＞0，且n=-m²+4，
∴PG=-m²+4，OA=2，AG=m+2，
∵OD∥PG，OD=

3

2

，
∴

AO

AG

=

DO

PG

，
即

2

2+m

=

1.5

-m2+4

，
解得m₁=

5

4

，m₂=-2（舍去），
∴OG=

5

4

．
又∵CD=OC-OD=4-1.5=2.5，
∴S_△PDC=

1

2

CD•GO=

1

2

×

5

2

×

5

4

=

25

16

，
∴S_△AOD=

1

2

AO•DO=

1

2

×2×

3

2

=

24

16

，
∴S_△PDC＞S_△AOD．
又∵S_△APC=S_△PDC+S_△ADC，S_△AOC=S_AOD+S_ADC，
∴S_△APC＞S_△AOC，
②在第一象限內，設在拋物線上存在點P′（m，n），
使得S△AP′C=S△AOC，
過點P′作P^′M⊥x 軸于點M，
則m＞0，n＞0且n=-m²+4．
∴OM=m，P′M=-m²+4，OA=2，AM=m+2，
設AP′交y軸于點D′，設OD^′=t，
∵OD^′∥P^′M，
∴

AO

AM

=

OD′

P′M

，即

2

2+m

=

t

-m2+4

，
化簡得mt+2t=8-m² ①
∵CD′=OC-OD′=4-t，
∴S_△P′CD′=

1

2

CD′•OM=

1

2

（4-t）•m，
S_△AOD′=

1

2

OA•OD′=

1

2

×2•t=t，
∵S△AP′C=S△AOC，
∴S△AOD′=S△P′CD′，
即t=

1

2

（4-t）m，即mt+2t=4m ②
由①②兩式得8-2m²=4m，
即m²+2m-4=0，
解得：m₁=

5

-1，m₂=-

5

-1（不合題意舍去），
此時，n=-m2+4=-(

5

-1)2+4=2

5

-2．
∴存在點P′（

5

-1，2

5

-2），
使得S△AP′C=S△AOC．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及一元二次方程解法和三角形面積求法等知識，熟練利用三角形面積關系得出是解題關鍵．