Question

已知：某函數的自變量x＞0時，其相應的函數值y＞1．
（1）請寫出一個滿足條件的一次函數的解析式；
（2）當函數的解析式為y=（m+4）x²-2（m+4）x+5-m時，求m的取值范圍；
（3）過動點C（0，n）作直線l⊥y軸，點O為坐標原點．
①當直線l與（2）中的拋物線只有一個公共點時，求n的取值范圍；
②當直線l與（2）中的拋物線相交于A、B兩點時，是否存在實數n，使得△AOB的面積為定值？如果存在，求出n的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）y=x+2（答案不唯一）；

（2）當m=-4時，y=9；
當m≠-4時，y=（m+4）x²-2（m+4）+5-m的頂點坐標是：（1，-2m+1），
根據題意得：，
解得：-4＜m＜0．
綜上所述，m的范圍是：-4＜m＜0；

（3）①∵直線l與（2）的拋物線只有一個公共點，
∴n=-2m+1
∵-4＜m＜0，
∴n的范圍是：1＜n＜9；
②結論：存在實數n，使得△AOB的面積為定值．
理由：n=（m+4）x²-2（m+4）x+5-m，
整理，得：（x²-2x-1）m+（4x²-8x+5-n）=0，
∵對于任意的m的值，上式恒成立，
∴，
解得：n=9．
∴當n=9時，對于任意的m的值，二次函數y=（m+4）x²-2（m+4）x+5-m的圖象都通過點（1-，9）和點（1+，9），即△AOB的底AB=2，高是9，因此面積是定值．
分析：（1）只要y=kx+b中只要k＞0則y隨x的增大而增大，因而只要b≥1即可滿足條件；
（2）當m=-4時，是一個常數函數，當m≠-4時，首先表示出二次函數的頂點坐標，根據y＞0，可以得到拋物線開口向上，且頂點的縱坐標大于1，即可求得m的范圍；
（3）①直線l與（2）的拋物線只有一個公共點，則頂點的縱坐標是n，即可得到m、n的關系，根據m的范圍即可求得n的范圍；
②把y=n代入拋物線的解析式，對于任意的m的值，得到的式子恒成立，據此即可求得n的值，則根據A、B的坐標的關系即可作判斷．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點，還涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．