Question

【題目】在菱形中，，點是對角線上一動點，將線段繞點順時針旋轉到，連接．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，連接并延長，分別交、于點、．

①求證：；②若的最小值為，直接寫出菱形的面積為　　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②

【解析】

（1）由菱形的性質得出BC=DC，∠BCD=120°，由旋轉的性質得PC=QC，∠PCQ=120°，得出∠BCP=∠DCQ，由SAS得出△BCP≌△DCQ即可；

（2）①由全等三角形的性質得出BP=DQ，得出∠QDC=∠PBC=∠PBM=30°，在CD上取點E，使QE=QN，則∠QEN=∠QNE，得出∠QED=∠QNC=∠PMB，證明△PBM≌△QDE（AAS），即可得出結論；

②由①知PM=QN，得出MN=PQ=PC，當PC⊥BD時，此時MN最小，則PC=2，BC=2PC=4，菱形ABCD的面積=2△ABC的面積，即可得出答案.

證明：（1）四邊形是菱形，

，，

，，

由旋轉的性質得：，，

，

，

在和中，，

；

（2）①證明：由（1）得：，

，

．

在上取點，使，如圖2所示：

則，

，

在和中，，

，

．

②解：由①知，

，

當時，最小，此時最小，

則，，

菱形的面積．

故答案為：．