Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3 ，tan∠BAC=，將∠ABC對折，使點C的對應點H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點O，以點O為坐標原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系

（1）求過A、B、O三點的拋物線解析式；

（2）若在線段AB上有一動點P，過P點作x軸的垂線，交拋物線于M，設PM的長度等于d，試探究d有無最大值，如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．

（3）若在拋物線上有一點E，在對稱軸上有一點F，且以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點E的坐標．

 

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC 中，∵BC=3 ，tan∠BAC=，

∴AC=4．

∴AB=．

設OC=m，連接OH，如圖，由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，

∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．

∴在Rt△AOH 中， OH²+AH²=OA²，即m²+2²=(4－m)²，得 m=．

∴OC=，OA=AC－OC=，

∴O（0，0） A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分

設過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x－）．

把x=，y=3代入解析式，得a=．

∴y=x（x－）=．

 即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=．…………………………4分

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，根據題意得：

                －

                

解之得 k= －，b=．

∴直線AB的解析式為y=．………………………………………………6分

設動點P（t，），則M（t，）．………………………………7分

∴d=（）—（）=—=

    ∴當t=時，d有最大值，最大值為2．………………………………………………8分

(3)設拋物線y=的頂點為D．

∵y==，

∴拋物線的對稱軸x=，頂點D（，－）．

根據拋物線的對稱性，A、O兩點關于對稱軸對稱．

①       當AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．這時點D即為點E，所以E點坐標為（）．……………………………………………………………………………10分

②       當AO為平行四邊形的邊時，由OA=，知拋物線存在點E的橫坐標為或，即或，分別把x=和x=代入二次函數解析式y=中，得點

E（，）或E（－，）．

所以在拋物線上存在三個點：E₁（，－），E₂（，），E₃（－，），使以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．……………………………………………12分