Question

已知，關于x的二次方程m²x²+（2m+1）x+1=0的兩個實數根為x₁、x₂．
（1）若方程的一個根是-1，求m的值；
（2）若y=（x₁+1）（x₂+1），試求出y與m的函數關系式以及m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程的解的定義，將x=-1代入關于x的二次方程m²x²+（2m+1）x+1=0，然后解關于m的一元二次方程即可；
（2）根據韋達定理x1+x2=-

b

2a

、x1•x2=

c

a

以及根的判別式△=b²-4ac解答．

解答：解：（1）把x=-1代入關于x的二次方程m²x²+（2m+1）x+1=0，得
m²-2m-1+1=0（1分）
解得：m₁=0，m₂=2，（1分），
∵方程是二次方程，∴m≠0，∴m=2（1分）

（2）∵x₁、x₂是方程m²x²+（2m+1）x+1=0的兩個實數根，
∴x1+x2=-

2m+1

m2

，x1•x2=

1

m2

．（1分）
y=（x₁+1）（x₂+1）=x 1x2+(x1+x2)+1=

1

m2

-

2m+1

m2

+1=

m-2

m

，（3分）
∵方程有兩個實數根，∴△=（2m-1）²-4m²=4m+1≥0，m≥-

1

4

，（2分）
∴m的取值范圍是：m≥-

1

4

，且m≠0．（1分）

點評：本題綜合考查了根與系數的關系、根的判別式．將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．