Question

已知如圖，在平面直角坐標系中有四點，坐標分別為A（-4，3）、B（4，3）、M（0，1）、Q（1，2），動點P在線段AB上，從點A出發向點B以每秒1個單位運動．連接PM、PQ并延長分別交x軸于C、D兩點（如圖）．
（1）在點P移動的過程中，若點M、C、D、Q能圍成四邊形，則t的取值范圍是______，并寫出當t=2時，點C的坐標______．
（2）在點P移動的過程中，△PMQ可能是軸對稱圖形嗎？若能，請求出符合條件的點P的坐標；若不能，請說明理由．
（3）在點P移動的過程中，求四邊形MCDQ的面積S的范圍．

Answer 1

解：（1）0≤t≤8，且t≠6；點C的坐標為（1，0）；


（2）若△PMQ可能是軸對稱圖形，則△PMQ必為等腰三角形．
①當PQ=PM時，設P點坐標為P（a，3），則有：
PQ==，
易知MQ=，
∴=，
解得a=2，a=0，
當a=2時，AP=4+2=6，即t=6不合題意，舍去．
∴P點坐標為（0，3）；
②當PM=MQ時，設P點坐標為P（b，3），則有：
PQ=，PM=，
∴=，
解得b=-1，
∴P點坐標為（-1，3）．
綜上所述：點P的坐標為（-1、3）、（0、3）；

（3）當0≤t＜4時，S=-t+，Smax=．
當4≤t≤5時，S=-t+，Smax=；
當5＜t≤8，S=t-，Smax=；
∴四邊形MCDQ的面積S的范圍是0＜S≤．
分析：（1）如果設直線AB與y軸的交點為R的話，如果要使M、Q、D、C能構成四邊形，那么P點必在線段AB上運動，且不在直線QM上．由此可求出t的取值范圍；當t=2時，PR=2，根據MR：OM=2：1，可得出OC=1．即C（1，0）；
（2）如果△PMQ是軸對稱圖形，那么△PMQ必為等腰三角形，應有兩個符合條件的P點：
①P在MQ的垂直平分線上，可設出P點的坐標，然后用坐標系兩點間的距離公式表示出PQ，PM，由于此時PQ=PM，據此可求出P的坐標；
②根據Q和M的坐標可知：如果連接RQ，那么三角形MQR是等腰直角三角形，因此R點即（0，3）也符合條件．（當PQ=QM時，在直線AB上，還有一點，但是那點在直線QM上，因此不合題意舍去）；
（3）本題只需求出S的最大值即可，分三種情況討論：
①當0≤t＜4時，過Q作QM⊥x軸于N，此時四邊形MCQD的面積可用梯形MQNO的面積+三角形QND的面積-三角形MOC的面積求得．由此可得出關于S，t的函數關系式；
②當4≤t≤5時，其面積可用梯形MOQN的面積+三角形MCO的面積+三角形QND的面積求得；
③當5＜t≤8（t≠6）時，其面積可用四邊形三角形QNC的面積-梯形MONQ的面積-三角形MOD的面積求得；
根據上述三種情況得出的函數關系式及各自的自變量取值范圍，可求出S的最大值，即可得出S的取值范圍．
點評：本題是點的運動性問題，考查了圖形面積的求法、等腰三角形的判定、一次次函數的應用等知識．綜合性強，難度較大．