Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若點D在線段BC上，以AD為邊長作正方形ADEF，如圖1，易證：∠AFC=∠ACB+∠DAC；
（1）若點D在BC延長線上，其他條件不變，寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC的關系，并結合圖2給出證明；
（2）若點D在CB延長線上，其他條件不變，直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC的關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）∠AFC、∠ACB、∠DAC的關系為：∠AFC=∠ACB-∠DAC，理由為：由四邊形ADEF為正方形，得到AD=AF，且∠FAD為直角，得到∠BAC=∠FAD，等式左右兩邊都加上∠CAD得到∠BAD=∠CAF，再由AB=AC，AD=AF，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACF全等，根據全等三角形的對應角相等可得出∠AFC=∠ADB，又∠ACB為三角形ACD的外角，利用外角的性質得到∠ACB=∠ADB+∠DAC，變形后等量代換即可得證；
（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的關系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根據∠DAF=∠BAC=90°，等號兩邊都減去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS證明三角形ABD與三角形AFC全等，由全等三角形的對應角相等可得出∠AFC=∠ADB，根據三角形ADC的內角和為180°，等量代換可得證．
解答：解：（1）關系：∠AFC=∠ACB-∠DAC，…（2分）
證明：∵四邊形ADEF為正方形，
∴AD=AF，∠FAD=90°，
∵∠BAC=90°，∠FAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，…（3分）
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），…（4分）
∴∠AFC=∠ADB，
∵∠ACB是△ACD的一個外角，
∴∠ACB=∠ADB+∠DAC，…（5分）
∴∠ADB=∠ACB-∠DAC，
∵∠ADB=∠AFC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC；…（6分）

（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC滿足的關系式為：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°，…（8分）
證明：∵四邊形ADEF為正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
又∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠DAB=∠FAC，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ADB=∠AFC，
在△ADC中，∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°，
則∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．
點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理，以及三角形的外角性質，熟練掌握判定及性質是解本題的關鍵．