Question

（2012•南長區一模）如圖，△ABC內接于⊙O，D是AB邊上一點，AB=6，AC=BD=4，P是

BAC

的中點，連接PA、PB、PC、PD．
（1）求證：PD=PA；
（2）若cos∠PCB=

5

5

，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）根據等弧對等弦以及全等三角形的判定和性質進行求解．
（2）過點P作PE⊥AD于E．根據銳角三角函數的知識和垂徑定理進行求解．

解答：解：（1）∵P是

BAC

的中點，
∴PB=PC
又∵∠PBA=∠PCA，BD=AC
∴△PBD≌△PCA
∴PD=PA  

（2）由（1）可知，當BD=4時，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2
過點P作PE⊥AD于E，則AE=0.5AD=1
∵∠PCB=∠PAD
∴cos∠PAD=cos∠PCB=

AE

PA

=

5

5

∴PA=

5

點評：本題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質、圓心角、弧、弦的關系及解直角三角形的知識，綜合運用了等弧對等弦的性質、全等三角形的判定和性質、銳角三角函數的知識以及垂徑定理．