Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D（其中點C、O、D按逆時針方向排列），連接AB．

（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數為　    　；

（2）連接AC，BC，當點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值．

（3）連接AD，當OC∥AD時，

①求出點C的坐標；②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）45°或135°。

（2）當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大。

過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，如圖，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，

∵△OAB為等腰直角三角形，∴AB=OA=6。

∴OE=AB=3。

∴CE=OC+CE=3+3。

∴△ABC的面積。

∴當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，△ABC的面積最大，最大值為。

（3）①如圖，過C點作CF⊥x軸于F，

∵OD⊥OC，OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90°。

∴∠DOA+∠DAO=90°。

∵∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO。

∴Rt△OCF∽Rt△AOD。，

∴，即，解得。

在Rt△OCF中，，

∴C點坐標為。

②直線BC是⊙O的切線。理由如下：

在Rt△OCF中，OC=3，OF=，∴。∴∠COF=30°。

∴∠OAD=30°。∴∠BOC=60°，∠AOD=60°。

∵在△BOC和△AOD中，，

∴△BOC≌△AOD（SAS）。

∴∠BCO=∠ADC=90°，∴OC⊥BC。

∴直線BC為⊙O的切線。

【解析】

試題分析：（1）∵點A（6，0），點B（0，6），∴OA=OB=6。∴△OAB為等腰直角三角形。

∴∠OBA=45°。

∵OC∥AB，

∴當C點在y軸左側時，∠BOC=∠OBA=45°；

當C點在y軸右側時，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°。

（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=OA=6，根據三角形面積公式得到當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質計算出OE，然后計算△ABC的面積。

（3）①過C點作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽Rt△AOD，則，即，解得，再利用勾股定理計算出，則可得到C點坐標。

②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，則可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據“SAS”判斷△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根據切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線。