Question

如圖是一個拋物線形拱橋的示意圖，橋的跨度AB為100米，支撐橋的是一些等距的立柱，相鄰立柱的水平距離為10米（不考慮立柱的粗細），其中距A點10米處的立柱FE的高度為3.6米．
（1）求正中間的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？請說明理由．

Answer 1

解：（1）根據題意可得中間立柱OC經過AB的中點O．
如圖，以點O為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系．
問題轉化為求點C的縱坐標．
|OF|=40（米），故B（50，0），E（-40，3.6）
設拋物線的解析式為y=ax²+c
∴解得：
∴y=-x²+10，當x=0時，y=10
即正中間的立柱OC的高度是10（米）；

（2）設存在一根立柱的高度是OC的一半，即這根立術的高度是5米．
則有5=-x²+10．解得：x=±25
∵相鄰立柱之間的間距為10米．最中間的立柱OC在y軸上，
根據題意每根立柱上的點的橫坐標為10的整數倍，
∴x=±25與題意不符，
∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半．
分析：（1）如圖，以點O為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系．問題轉化為求點C的縱坐標，該拋物線對應的函數關系式為：y=ax²+c，根據題意知道其上兩點，求出a，c；
（2）設存在一根系桿的長度恰好是OC長度的一半，即為5米，解得x，然后再作討論．
點評：此題主要考查了二次函數的應用，運用二次函數解決實際問題建立坐標系得出點的坐標是解題關鍵．