Question

（2006•龍巖）已知：關于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0．
（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根x₁，x₂滿足，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）方程總有兩個不相等的實數根的條件是△＞0，由△＞0可推出m的取值范圍．
（2）欲求m的值，先把代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后與兩根之和公式、兩根之積公式聯立組成方程組，解方程組即可求m的值．
解答：解：（1）△=[-（2m+1）]²-4（m²+m-2）．
=4m²+4m+1-4m²-4m+8=9＞0
∴不論m取何值，方程總有兩個不相等實數根．

（2）解法一：
根據根與系數的關系有x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2．
又．
∴．
整理得m²=4
解得m₁=2，m₂=-2
經檢驗m=-2是增根，舍去．
∴m的值為2．
解法二：
由原方程可得[x-（m-1）][x-（m+2）]=0
∴x₁=m+2，x₂=m-1
又∵
∴
∴m=2
經檢驗：m=2符合題意．
∴m的值為2．
點評：本題考查了一元二次方程根的判別方法，根與系數關系的靈活運用等知識．根據一元二次方程的根與系數的關系把求m的問題轉化為解方程的問題，是解決本題的關鍵．