Question

2、在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是質(zhì)數(shù)，且最短邊的長(zhǎng)為1．則滿足這樣條件的互不全等的三角形個(gè)數(shù)為（　　）

A、1

B、2

C、3

D、多于3

Answer 1

分析：首先列舉出90以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知有1個(gè)角為2°，另外2角的和為178°，即可得出三角形有且僅有一個(gè)，這是一個(gè)等腰三角形，然后根據(jù)最短邊的長(zhǎng)為1，分腰為1與底為1兩種情況進(jìn)行討論，據(jù)此即可解答．

解答：解：90以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
質(zhì)數(shù)除2以外均為奇數(shù)，
三個(gè)奇數(shù)相加亦為奇數(shù)，
而三角形內(nèi)角和的度數(shù)為180，是偶數(shù)，
所以必有一個(gè)角的度數(shù)為2，不妨設(shè)∠A=2°，那么∠B+∠C=178°=89°+89°，
△ABC為銳角三角形，如果不取∠B=∠C=89°，則必有一角＞90°，與銳角矛盾
所以滿足條件的三角形有且僅有一個(gè)：{2°，89°，89°}；
這是一個(gè)等腰三角形，
當(dāng)腰為1時(shí)，底邊遠(yuǎn)小于1（不符合題意，舍去），
當(dāng)?shù)诪?時(shí)，腰長(zhǎng)遠(yuǎn)大于1，
所以滿足條件的[互不全等]的三角形有且僅有1個(gè)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查質(zhì)數(shù)與合數(shù)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握上述定理與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．