Question

已知：如圖所示，BC為圓O的直徑，A、F是半圓上異于B、C的一點，D是BC上的一點，BF交AH于點E，A是弧BF的中點，AH⊥BC．
（1）求證：AE=BE；
（2）如果BE•EF=32，AD=6，求DE、BD的長．

Answer 1

解：（1）連接AB；
∵BC是直徑，且BC⊥AH，
∴；
∵A是的中點，
∴==；
∴∠BAE=∠ABE；
∴AE=BE；

（2）易知DH=AD=6；
∴AE=6-DE，EH=6+DE；
由相交弦定理，得：AE•EH=BE•EF，即：
（6-DE）（6+DE）=32，解得DE=2；
Rt△BDE中，BE=AE=AD-DE=4，DE=2；
由勾股定理，得：BD==2．
分析：（1）求AE=BE，可證它們的所對的角相等；連接AB、通過證弧AF、弧AB、弧BH都相等，來得到∠BAE=∠EBA，從而證得AE=BE的結論．
（2）已知了AD的長即可得出HD的長，可用DE表示出AE、EH，然后由相交弦定理可求出DE的值，進而可在Rt△BDE中，由勾股定理求出BD的長．
點評：此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、相交弦定理的綜合應用能力．