Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC15°，AB，BC2，以AB為直角邊向外作等腰直角△BAD，且∠BAD=90°；以BC為斜邊向外作等腰直角△BEC，連接DE．

（1）按要求補全圖形；

（2）求DE長；

（3）直接寫出△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據題意描述繪圖即可.

（2）連接DC，先證明△BCD是等邊三角形,再證明DE垂直平分BC.由勾股定理求出DF和EF的長度,DE=DF+EF.

（3）可以證明△ABC≌△DAC，用△DBC的面積減去△ABD的面積除以2即可得到△ABC的面積.

解：（1）如圖所示

（2） 連接DC

解：∵△ABD是等腰直角三角形, AB=，∠BAD=90°.

∴ AB=AD= ，∠ABD=45°.

由勾股定理得DB=2.

∴ ∠DBC=∠ABC+∠ABD=60°.

∵BC=2.

∴ BC=BD.

∴△BCD是等邊三角形.

∴BD=CD=2.

∴D點在線段BC的垂直平分線上.

又∵△BEC是等腰直角三角形.

∴BE=CE ，∠CEB=45°

∴E點在線段BC的垂直平分線上.

∴DE垂直平分BC.

∴BF=BC=1， ∠BFE=90°

∵∠FBE=∠BEF=45°

∴BF=EF=1

Rt△BFD中，BF=1，BD=2

由勾股定理得DF=,

∴ DE=DF+EF =.

（3）∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，

∴△ABC≌△DAC.

用△DBC的面積減去△ABD的面積除以2即可得到△ABC的面積.

△DBC的面積為=，△ABD的面積為.

所以△ABC的面積為.