Question

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，將△ABD沿AB所在的直線折疊，使點D落在點E處；將△ACD沿AC所在的直線折疊，使點D落在點F處，分別延長EB、FC使其交于點M．
（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明；
（2）若BD=1，CD=2，試求四邊形AEMF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質知∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠CAF，即∠EAF=2∠BAC=90°；而∠E=∠ADB=∠F=∠ADC=90°，由此可證得四邊形AEMF是矩形；而AE=AF=AD，所以四邊形AEMF是正方形；
（2）欲求正方形的面積，需求出正方形的邊長，可設正方形的邊長為x；由折疊的性質知BE=BD，CD=CF，即可用x表示出BM、MC的長，進而可在Rt△BMC中，由勾股定理求得正方形的邊長，即可得到正方形的面積．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
△AEB是由△ADB折疊所得，
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD．
又∵△AFC是由△ADC折疊所得，
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD．
∴AE=AF．（2分）
又∵∠1+∠2=45°，
∴∠3+∠4=45°．
∴∠EAF=90°．（3分）
∴四邊形AEMF是正方形．（5分）

（2）方法一：設正方形AEMF的邊長為x；
根據題意知：BE=BD，CF=CD，
∴BM=x-1；CM=x-2．（7分）
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC²=CM²+BM²
∴（x-1）²+（x-2）²=9，
x²-3x-2=0，
解之得：x1=

3+ 17

2

x2=

3- 17

2

（舍去）．
∴S正方形AEMF=(

3+ 17

2

)2=

13+3 17

2

．（10分）
方法二：設：AD=x
∴S△ABC=

1

2

•BC•AD=

3

2

x
∴S_{五邊形AEBCF}=2S_△ABC=3x（7分）
∵S△BMC=

1

2

BM•CM=

1

2

(x-1)(x-2)
且S_{正方形AEMF}=S_{五邊形AEBCF}+S_△BMC，
∴x2=3x+

1

2

(x-1)(x-2)即x²-3x-2=0，
解之得：x1=

3+ 17

2

，x2=

3- 17

2

（舍去），
∴S正方形AEMF=(

3+ 17

2

)2=

13+3 17

2

．（10分）

點評：此題考查了圖形的折疊變換、正方形的判定、勾股定理以及圖形面積的求法，能夠根據折疊的性質正確地得到與已知和所求相關的相等角和相等邊，是解答此題的關鍵．