Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O為AB邊上一點，⊙O交AB于點E，F兩點，BC切⊙O于點D，且CD=EF=1，

（1）求證：AC與⊙O相切；

（2）求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1﹣π．

【解析】試題分析：

（1）連接OD，過點O作OH⊥AC于點H，易證四邊形ODCH是矩形，由此可得OH=CD=EF=OE，從而可得AC是⊙O的切線；

（2）由（1）可知∠DOH=90°，OH=EF=1，由此根據：S陰影=S正方形ODCH-S扇形ODH即可計算出陰影部分的面積.

試題解析：

（1）連接OD，過點O作OH⊥AC于點H，

∵BC是⊙O的切線，

∴OD⊥BC．

∵∠C=90°，

∴∠OHC=∠ODC=∠C=90°，

∴四邊形OHCD是矩形．

∵CD=EF，

∴OH=EF=OE．

∵OH⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）由（1）可知，四邊形ODCH是正方形，

∴∠DOH=90°，OH=CD=EF=1，

∴S陰影=S正方形ODCH-S扇形ODH=1×1﹣=1﹣π．