Question

【題目】如圖，已知等腰中，，，是上的一個動點，將沿著折疊到處，再將邊折疊到與重合，折痕為，當是等腰三角形時，的長是___________.

Answer 1

【答案】，，

【解析】

分三種情況：DE=DF,EF=ED,EF=FD,進行討論即可.

解：由折疊可知：∠B=∠ADE, ∠C=∠ADF,AB=AD=5,AC=AD=5,BE=ED,DF=FC

過A作AM⊥BC于M

∵AB=AC

∴BM=CM=BC=4，∠B=∠C

∴∠B=∠ADE=∠C=∠ADF

由勾股定理可知:

當DE=DF=a時，

則BE=ED=DF=FC=a，EM=BM-BE=4-x

∵∠ADE=∠ADF

∴AD⊥BC

又∵AM⊥BC

∴A、M、D三點共線，∠EMD=90°

∴DM=AD-AM=5-3=2

在Rt△EMD中：

∴

解得：

當DE=EF時，

∵BE=ED

∴BE=EF

連接BD,延長AE交BD于G

∵AB=AD,BE=ED

∴AG垂直平分BD

∴BG=DG

設EM=b則BE=EF=4-b

∴FC=8-(8-2b)=2b

∴FD=FC=2b

在△BMD中: BG=DG，BE=EF

∴EG是△BMD的中位線

∴

∴GE=EM=b

∵∠BME=∠AHE=90°，∠BEG=∠AEM

∴

∴BG=AM=3

在Rt△BEG中:

∴

∴

∴BE=4-

當DF=EF時，

∵CF=DF

∴CF=EF

連接CD,延長AF交CD于H

∵AC=AD,DF=FC

∴AH垂直平分CD

∴DH=CH

設FM=c則FC=FD=4-c

∴BE=8-(8-2c)=2c

∴BE=ED=2c

在△ECD中: EF=FC，DH=HC

∴FH是△ECD的中位線

∴

∴FH=FM=c

∵∠AMF=∠CHF=90°，∠AFM=∠CFH

∴

∴CH=AM=3

在Rt△FCH中:

∴

∴

∴BE=

故答案為：，，