Question

【題目】M（﹣1，），N（1，）是平面直角坐標系xOy中的兩點，若平面內直線MN上方的點P滿足：45°≤∠MPN≤90°，則稱點P為線段MN的可視點．

（1）在點，，，A4（2，2）中，線段MN的可視點為　 　；

（2）若點B是直線y＝x上線段MN的可視點，求點B的橫坐標t的取值范圍；

（3）直線y＝x+b（b≠0）與x軸交于點C，與y軸交于點D，若線段CD上存在線段MN的可視點，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A1，A3；（2）點B的橫坐標t的取值范圍是0≤t≤1；（3）或．

【解析】

（1）根據“直徑所對的圓周角是直角”可知線段MN的可視點在以MN為直徑的圓的外部或圓上，根據“同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”可知線段MN的可視點在以E為圓心，EM長為半徑的⊙E的內部或⊙E上，根據坐標可以判斷哪些點符合要求．

（2）點B既要在直線y＝x＋上，又要⊙E的內部或圓上，且在⊙G的外部或圓上，故應該在直線y＝x＋與⊙G、⊙E的交點E、F為端點的線段上，求出E、F的橫坐標即可．

（3）分b＜0，b＞0兩種情況進行討論．

解：（1）如圖1，以MN為直徑的半圓交y軸于點E，以E為圓心，EM長為半徑的⊙E交y軸于點F，

∵MN是⊙G的直徑，

∴∠MA1N＝90°，

∵M（﹣1，），N（1，）

∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2

∴EM＝EF，

∴∠MFN∠MEN＝45°，

∵45°≤∠MPN≤90°，

∴點P應落在⊙E內部，且落在⊙G外部

∴線段MN的可視點為A1，A3；

故答案為A1，A3；

（2）如圖，以（0，）為圓心，1為半徑作圓，以（0，）為圓心，為半徑作圓，兩圓在直線MN上方的部分與直線分別交于點E，F．

過點F作FH⊥x軸，過點E作EH⊥FH于點H，

∵FH⊥x軸，

∴FH∥y軸，

∴∠EFH＝∠MEG＝45°，

∵∠EHF＝90°，EF，

∴EH＝FH＝1，

∴E（0，），F（1，）．

只有當點B在線段EF上時，滿足45°≤∠MBN≤90°，點B是線段MN的可視點．

∴點B的橫坐標t的取值范圍是0≤t≤1．

（3）如圖，⊙G與x軸交于H，與y軸交于E，連接GH，OG，GH＝1，

∴OH，

∴H（，0）．E（0，）

當直線y＝x+b（b≠0）與x軸交于點C，與y軸交于點D，若線段CD上存在線段MN的可視點，

①直線y＝x+b與y軸交點在y負半軸上

將H（，0）代入y＝x+b得b＝0，解得b1，

將N（1，）代入y＝x+b得1+b，解得b2

∴b

②直線y＝x+b與y軸交點在y正半軸上

將 E（0，）代入得b，

當直線y＝x+b與⊙E相切于T時交y軸于Q，連接ET，則ET⊥TQ，

∵∠EQT＝45°，

∴TQ＝ET＝EM，

∴EQ2

∴OQ＝OE+EQ2

∴

綜上所述：或．