Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=45°，∠B=60°，BC為+1，點P為邊AB上一動點，過點P作PD⊥BC于點D，PE⊥AC于點E，則DE的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

當CP⊥AB時，線段DE的值最小，利用四點共圓的判定可得：C、D、P、E四點共圓，且直徑為CP，由∠B=60°，BC為+1，求出PC，從而得出半徑OD的長度，然后由∠ACB=45°，得到∠EOD=90°，利用等腰直角三角形的性質，可求出DE的值．

解：當CP⊥AB時，線段DE的值最小（因為四邊形C、D、P、E四點共圓，PC是直徑，BC=和∠B=60°是定值，所以直徑CP最小時，∠DCE所對的弦DE最小）；如圖：

∵PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，

∴∠CDP=∠AEP=90°，

∴∠CDP+∠AEP=180°，

∴C、D、P、E四點共圓，且直徑為CP，

∵∠B=60°，CP⊥AB，BC=，

∴，即，

∴,

∴，

∵∠ACB=45°，

∴∠EOD=90°，

∴△OED是等腰直角三角形，

∴；

∴DE的最小值為：.

故答案為：.