Question

如圖所示，有一個正方體形的鐵絲架，把它的側棱中點I、J、K、L也用鐵絲連上．
（1）現在一個螞蟻想沿著鐵絲從A點爬到G點，問最近的路線一共有幾條？并用字母把這些路線表示出來（用所經過的連接點字母表示，譬如螞蟻從A點出發，經過I點L點，最后到達H點，這樣的路線用AILH表示）．
（2）螞蟻是否可能從A點出發，沿著鐵絲經過每一個連接點恰好一次，最后到達G點？如果可能，請找出一條這樣的路線；如果不可能，說明為什么？

Answer 1

（1）一共有12條：ABCKG、ABJKG、ABJFG、ADCKG、ADLKG、ADLHG、AIJKG、AIJFG、AILKG、AILHG、AIEFG、AIEHG；
（2）不可能．
用反證法證明．假設可能，那么將所有連接點染上黑、白兩色，凡與黑點相鄰的都是白點，凡與白點相鄰的都是黑點．
若A是白點，則黑白點的分布如下表：
．
由于A與G都是白點，所以螞蟻從A點出發，依次經過其它各點，到達G點的路線應為白→黑→白→黑→…→黑→白．其中有奇數個白點，這與圖中共有偶數個白點相矛盾．
∴螞蟻不可能從A點出發沿著鐵絲經過每一個連接點恰好一次，最后到達G點．