Question

如圖所示，⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃兩兩相外切，⊙O₁的半徑r₁=1，⊙O₂的半徑r₂=2，⊙O₃的半徑r₃=3．求證：△O₁O₂O₃是直角三角形．

Answer 1

分析：先求出兩圓的圓心距，再根據勾股定理的逆定理推出即可．

解答：證明：∵⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃兩兩相外切，⊙O₁的半徑r₁=1，⊙O₂的半徑r₂=2，⊙O₃的半徑r₃=3，
∴O₂O₁=1+2=3，O₂O₃=2+3=5，O₃O₁=3+1=4，
∴O₁O₂²+O₁O₃²=25，O₂O₃²=25，
∴O₁O₂²+O₁O₃²=O₂O₃²，
∴∠O₂O₁O₃=90°，
即：△O₁O₂O₃是直角三角形．

點評：本題考查了勾股定理的逆定理，相切兩圓的性質的應用，主要考查學生推理能力．