Question

如圖，在周長為9cm的四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，且AC=BD=3cm，順次連接OA、OB、OC、OD的中點得四邊形A₁B₁C₁D₁，順次連接OA₁、OB₁、OC₁、OD₁的中點得四邊形A₂B₂C₂D₂，依此作下去…，得四邊形A_nB_nC_nD_n，則A_nB_nC_nD_n的周長為　　cm，面積為　　cm²．（用含n的代數(shù)式表示）

 

Answer 1

【答案】

   

【解析】

試題分析：根據(jù)題意可知，每次得到的四邊形的各邊的長都是上一個四邊形各邊長的，因此第n個四邊形A_nB_nC_nD_n和四邊形ABCD的相似比應該是：1，然后根據(jù)相似多邊形的性質求解即可．

解：由于A₁、B₁、C₁、D₁分別是OA、OB、OC、OD的中點，

因此A₁B₁=AB，B₁C₁=BC，C₁D₁=CD，A₁D₁=AD，

易證得四邊形A₁B₁C₁D₁∽四邊形ABCD，且相似比為1：2，即：1；

同理可證得四邊形A_nB_nC_nD_n與四邊形ABCD的相似比為：：1，則面積比為：：1；

∵四邊形ABCD的周長為9cm，面積為AC×BD=cm²，

∴四邊形A_nB_nC_nD_n的周長為cm，面積為cm²．

考點：相似多邊形的性質；三角形中位線定理．

點評：此題主要考查的是三角形中位線定理和相似多邊形的性質，相似多邊形的性質與相似三角形的性質類似，相似多邊形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．