Question

【題目】已知:在△ABC中，且∠BAC＝70°，AD是△ABC的角平分線，點E是AC邊上的一點，點F為直線AB上的一動點，連結EF，直線EF與直線AD交于點P，設∠AEF＝α°

(1)如圖①，若 DE//AB，則①∠ADE的度數是_______;

②當∠DPE＝∠DEP時，∠AEF= _____度:當∠PDE＝∠PED，∠AEF=_______度;

(2)如圖②，若DE⊥AC，則是否存在這樣的α的值，使得△DPE中有兩個相等的角?若存在求出α的值;若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）①35°；②37.5，75；（2）27.5°或20°或35°．

【解析】

（1）①利用平行線的性質，可知∠ADE=∠BAD，由此即可解決問題；

②利用三角形的內角和定理以及三角形的外角的性質解決問題即可；

（2）用分類討論的思想思考問題即可；

解：（1）①∵∠BAC=70°，AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAD=∠BAC=35°，

∵DE∥AB，

∴∠ADE=∠BAD=35°，

故答案為35°．

②在△DPE中，∵∠ADE=35°，

∴∠DPE=∠PED=（180°-35°）=72.5°，

∵∠DPE=∠AEP+∠DAE，

∴∠AEF=72.5°-35°=37.5°；

∵當∠PDE=∠PED時，∠DPE=70°，

∴∠AEF=∠DPE-∠DAE=75°．

故答案為37.5，75；

（2）在Rt△ADE中，∠ADE=90°-35°=55°．

①當DP=DE時，∠DPE=62.5°，∠AEF=∠DPE-∠DAC=62.5°-35°=27.5°．

②當EP=ED時，∠EPD=∠ADE=55°，∠AEF=∠DPE-∠DAC=55°-35°=20°．

③當DP=PE時，∠EPD=180°-2×55°=70°，∠AEF=∠DPE-∠DAC=70°-35°=35°．