Question

已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF．
【小題1】如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，
①求證：∠ADB=∠AFC；②請(qǐng)直接判斷結(jié)論∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
【小題2】如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，結(jié)論∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？請(qǐng)寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程；
【小題3】如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的異側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系．

Answer 1

【小題1】①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠DAF=60°，∴∠BAC=∠DAF．∴∠BAD=∠CAF．
∵四邊形ADEF是菱形，∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF．∴∠ADB=∠AFC．
②結(jié)論：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．
【小題2】結(jié)論∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關(guān)系是：
∠AFC=∠ACB∠DAC（或這個(gè)等式的正確變式）．
證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC= 60°．
∵∠DAF = 60°，∴∠BAC=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF．
∵四邊形ADEF是菱形，∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB－∠DAC
【小題3】補(bǔ)全圖形如下圖：
∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關(guān)系是：∠AFC=2∠ACB－∠DAC（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及這兩個(gè)等式的正確變式）．解析:
（1）此題只需由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判斷兩三角形全等得出∠ADB=∠AFC；
（2）此題應(yīng)先判斷得出正確的等量關(guān)系，然后再根據(jù)△ABD≌△ACF即可證明；
（3）此題只需補(bǔ)全圖形后由圖形即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系．