Question

24、已知，△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）．以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF．
（1）如圖1，當點D在邊BC上時，
求證：∠ADB=∠AFC；②請直接判斷結論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，結論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？請寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的數量關系，并寫出證明過程；
（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上時，且點A、F分別在直線BC的異側，其他條件不變，請補全圖形，并直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關系．

Answer 1

分析：（1）此題只需由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判斷兩三角形全等得出∠ADB=∠AFC；
（2）此題應先判斷得出正確的等量關系，然后再根據△ABD≌△ACF即可證明；
（3）此題只需補全圖形后由圖形即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關系．

解答：解：（1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAF=60°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四邊形ADEF是菱形，∴AD=AF，
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，
②結論：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立．

（2）結論∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關系是∠AFC=∠ACB-∠DAC．
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，
∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四邊形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF．
∴∠ADB=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC．

（3）補全圖形如下圖：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關系是：∠AFC=2∠ACB-∠DAC
（或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°以及這兩個等式的正確變式）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，綜合性較強，同學們應好好掌握．