Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=，D為AB邊上一點，DE⊥CD于D，交直線AC于E，過點A作AF⊥AB交直線DE于F．
（1）如圖（1），求證：△AEF∽△BCD；
（2）如圖（2），若CD=DF，求的值；
（3）如圖（3），若將題干中的點D的位置改為在BA的延長線上，其他的條件不變，且滿足CD=DF，AB=13cm．請直接寫出此時AE=______

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件證明兩三角形對應角相等，可以得出△AEF∽△BCD；
（2）過C點作AB邊垂線，垂足為M，設BM=a，DM=b，分別求出AD=CM，AM的長，即可得出的值；
（3）利用△BCD∽△DAF，即可求出此時AE的長．
解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠CDF=90°，
∴∠1+∠CED=90°，
∴∠2=∠CED，
∵∠CED=∠FEA，
∴∠FEA=∠2，
∵∠3+∠4=90°，
∠4+∠F=90°，
∠F=∠3，
∴△AEF∽△BCD；

（2）解：過C點作AB邊垂線，垂足為M．
設BM=a，DM=b，則CM=a•tanB=1.5a．
AM=CM•tanB=2.25a，
∵∠DMC+∠FDA=90°，
∠MDC+∠MCD=90°，
∴∠MCD=∠FDA，
∵CD=DF，∠CMD=∠DAF=90°，
∴△CMD≌△DAF，
所以AD=CM=1.5a，
所以AM=AD+MD=1.5a+b=2.25a，
所以b=0.75a，
∴DF=CD=a，
∴AF=a，BD=a+0.75a，
∴=，

則=；

（3）解：證出△BCD∽△AEF，
∵CD=DF，AB=13cm，
∴AE=．
故答案為：．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定，正確的應用兩角對應相等的三角形相似是中考中一個熱點問題，同學們應熟練掌握此定理．