Question

23、完成表格，觀察表格中的兩個根的和與積，它們與原來的方程的系數有什么關系？

方程	x1	x2	x1+x2	x1x2
x2-2x=0	0	2	2	0
x2+3x-4=0	-4	1	-3	-4
x2-5x+6=0	2	3	5	6

（1）請用文字語言概括你的發現．

若二次項系數為1，常用以下關系：x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q

（2）一般的，對于關于x的方程x²+px+q=0（p、q為常數，p²-4q≥0）的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=

-p

，x₁x₂=

q

（3）運用以上發現解決下列問題：已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的兩根，求代數式（1+x₁）（1+x₂）的值．

Answer 1

分析：（1）求出各方程兩根之和與兩根之積，再與方程的系數比較找出規律即可；
（2）根據根與系數的關系進行求解．
（3）代數式（1+x₁）（1+x₂）可以變形為代數式1+x₁+x₂+x₁x₂，再根據根與系數的關系進行求解．

解答：解：（1）第一行：2、0，第二行：-3、4；第三行：5、6．
規律為：x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q；

（2）若x₁和x₂是方程x²+px+q=0（p、q為常數，p²-4q≥0）的兩個根．
那么x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．

（3）根據根與系數的關系得：x₁+x₂=1，x₁x₂=-3．
則（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁x₂=1+1-3=-1．

點評：考查了根與系數的關系，了解根與系數的關系的猜想以及證明過程，熟練運用根與系數的關系求一些關于兩根的代數式的值．