Question

【題目】如圖，直線y＝ax+2與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，與雙曲線y＝（x＞0）相交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC＝4，點A的坐標為（﹣4，0）．

（1）求雙曲線的解析式；

（2）若點Q為雙曲線上點P右側的一點，過點Q作QH⊥x軸于點H，當以點Q，C，H為頂點的三角形與△AOB相似時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）點Q的坐標為（2+2，4﹣4）或（8，2）

【解析】

（1）把A坐標代入直線解析式求出a的值，確定出直線解析式，把y＝4代入直線解析式求出x的值，確定出P坐標，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出雙曲線解析式；

（2）設Q（m，），分兩種情況考慮：當△QCH∽△BAO時；當△QCH∽△ABO時，由相似得比例求出m的值，即可得出Q坐標．

解：（1）把A（﹣4，0）代入y＝ax+2，

得，﹣4a+2＝0，解得a＝，

故直線AB的解析式為y＝x+2，

把y＝4代入y＝x+2，得x+2＝4，

解得x＝4，

∴點P（4，4）．

把P（4，4）代入y＝，得k＝16，

故雙曲線的解析式為y＝；

（2）把x＝0代入y＝x+2，得y＝2，

∴點B的坐標為（0，2），

∴OB＝2，

∵A（﹣4，0），

∴OA＝4，

設Q（m，），則CH＝m﹣4，QH＝，

由題意可知∠AOB＝∠QHC＝90°，

當△AOB△QHC時，

，即，

解得：m1＝2+2，m22﹣2 （不合題意，舍去），

∴點Q的坐標為（2+2，4﹣4），

當△BOA△QHC時，

，即，

解得m1＝8，m2＝﹣4（不合題意，舍去），

∴點Q的坐標為（8，2）．

綜上可知，點Q的坐標為（2+2，4﹣4）或（8，2）．