Question

15．在△ABC中，AD⊥BC于點D，點E為AC邊的中點，過點A作AF∥BC，交DE的延長線于點F，連接CF．
（1）如圖1，求證：四邊形ADCF是矩形；
（2）如圖2，當AB=AC時，取AB的中點G，連接DG、EG，在不添加任何輔助線和字母的條件下，請直接寫出圖中所有的平行四邊形（不包括矩形ADCF）．

Answer 1

分析 （1）由△AEF≌△CED，推出EF=DE，又AE=EC，推出四邊形ADCF是平行四邊形，只要證明∠ADC=90°，即可推出四邊形ADCF是矩形．
（2）四邊形ABDF、四邊形AGEF、四邊形GBDE、四邊形AGDE、四邊形GDCE都是平行四邊形．

解答 （1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠EDC，
∵E是AC中點，
∴AE=EC，
在△AEF和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠CDE}\\{∠AEF=∠CED}\\{AE=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CED，
∴EF=DE，∵AE=EC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCF是矩形．

（2）∵線段DG、線段GE、線段DE都是△ABC的中位線，又AF∥BC，
∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，
∴四邊形ABDF、四邊形AGEF、四邊形GBDE、四邊形AGDE、四邊形GDCE都是平行四邊形．

點評 本題考查平行四邊形的判定、矩形的判定、三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．