Question

（2005•烏蘭察布）圖1是由五個邊長都是1的正方形紙片拼接而成的，過點A₁的直線分別與BC₁、BE交于點M、N，且圖1被直線MN分成面積相等的上、下兩部分．

（1）求的值；
（2）求MB、NB的長；
（3）將圖1沿虛線折成一個無蓋的正方體紙盒（圖2）后，求點M、N間的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過相似三角形A₁B₁M和NBM得出的關于NB，A₁B₁，MB，MB₁的比例關系式來求，比例關系式中A₁B₁，BB₁均為正方形的邊長，長度都是1，因此可將它們的值代入比例關系式中，將所得的式子經過變形即可得出所求的值；
（2）由于直線MN將圖（1）的圖形分成面積相等的兩部分，因此△BMN的面積為，由此可求出MB•NB的值，根據（1）已經得出的MB+NB=MB•NB可求出MB+NB的值，由此可根據韋達定理列出以MB，NB為根的一元二次方程，經過解方程即可求出MB、NB的值；
（3）根據（2）的結果，不難得出B₁M=EN，由于折疊后E與B點重合，因此B₁M=BN，那么四邊形B₁MNB是個矩形，因此MN的長為正方形的邊長．
解答：解：（1）∵△A₁B₁M∽△NBM且A₁B₁=BB₁=1，
∴，
即
整理，得MB+NB=MB•NB，
兩邊同除以MB•NB得
；

（2）由題意得，
即MB•NB=5，
又由（1）可知MB+NB=MB•NB=5，
∴MB、NB分別是方程x²-5x+5=0的兩個實數根．
解方程，得x₁=，x₂=；
∵MB＜NB，
∴MB=，NB=；

（3）由（2）知B₁M=-1=，
EN=4-=，
∵圖（2）中的BN與圖（1）中的EN相等，
∴BN=B₁M；
∴四邊形BB₁MN是矩形，
∴MN的長是1．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，一元二次方程的應用等知識點，綜合性比較強．