Question

如圖，半徑為R的⊙O的弦AC=BD，AC、BD交于E，F(xiàn)為

BC

上一點(diǎn)，連AF、BF、AB、AD，下列結(jié)論：①AE=BE；②若AC⊥BD，則AD=

2

R；③在②的條件下，若

CF

=

CD

，AB=

2

，則BF+CE=1．其中正確的是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：①由弦AC=BD，可得

AC

=

BD

，繼而可得

BC

=

AD

，然后由圓周角定理，證得∠ABD=∠BAC，即可判定AE=BE；
②連接OA，OD，由AE=BE，AC⊥BD，可求得∠ABD=45°，繼而可得△AOD是等腰直角三角形，則可求得AD=

2

R；
③設(shè)AF與BD相交于點(diǎn)G，連接CG，易證得△BGF是等腰三角形，CE=DE=EG，繼而求得答案．

解答：解：①∵弦AC=BD，
∴

AC

=

BD

，
∴

BC

=

AD

，
∴∠ABD=∠BAC，
∴AE=BE；

②連接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE=45°，
∴∠AOD=2∠ABE=90°，
∵OA=OD，
∴AD=

2

R；

③設(shè)AF與BD相交于點(diǎn)G，連接CG，
∵

CF

=

CD

，
∴∠FAC=∠DAC，
∵AC⊥BD，
∵在△AGE和△ADE中，

∠AEG=∠AED=90° AE=AE ∠EAG=∠DAE

，
∴△AGE≌△ADE（ASA），
∴AG=AD，EG=DE，
∴∠AGD=∠ADG，
∵∠BGF=∠AGD，∠F=∠ADG，
∴∠BGF=∠F，
∴BG=BF，
∵AC=BD，AE=BE，
∴DE=CE，
∴EG=CE，
∴BE=BG+EG=BF+CE，
∵AB=

2

，
∴BE=AB•cos45°=1，
∴BF+CE=1．
故其中正確的是：①②③．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、弧與弦的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．