Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足為D，AE平分∠CAB交CD于點F，交BC于點E，EH⊥AB，垂足為H，連接FH.

求證：(1)CF＝CE

(2)四邊形CFHE是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）利用垂直的定義結合角平分線的性質以及互余的性質得出∠4=∠5，進而得出答案；
（2）根據題意分別得出CF∥EH，CF=EH，進而得出答案．

證明　(1)如圖所示：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足為D，

∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠3＝90°，

又∵∠AE平分∠CAB，

∴∠1＝∠2，

∴∠3＝∠5，

∵∠3＝∠4，

∴∠4＝∠5，

∴CF＝CE；

(2)∵AE平分∠CAB，CE⊥AC，EH⊥AB，

∴CE＝EB，

由(1)知，CF＝CE，

∴CF＝EH，

∵CD⊥AB，EH⊥AB，

∴∠CDB＝90°，∠EHB＝90°，

∴∠CDB＝∠EHB，

∴CD∥EH，

即CF∥EH，

∴四邊形CFHE是平行四邊形．