Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，將△ABD沿著BD折疊，使點A與點E重合．

（1）如圖，對角線AC、BD相交于點O，連接OE，則線段OE的長＝ ；

（2）如圖，過點E作EF∥CD交線段BD于點F，連接AF，求證：四邊形ABEF是菱形；

（3）如圖，在（2）條件下，線段AE、BD相交于M，連接CE，求線段CE的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據翻折的特點知OE=OA，由勾股定理求出AC即可求出OA；

（2）先證明四邊形ABEF是平行四邊形，再由翻折知AB=BE，即可得到四邊形ABEF是菱形；

（3）先在（2）的前提下，求出BM的長，從而得到BF的長，然后求出DF，再證明出四邊形DFEC是平行四邊形即可得到EC=DF=．

解：(1) ．

由翻折知識知：OE=OA，

∵OA= ,AC= , AB＝3，AD＝4，

∴AC=5，

∴OE= OA= =,

故答案為：．

(2)證明：

∵ 四邊形ABCD是菱形，

∴ AB∥CD，

∵ EF∥CD，

∴ AB∥EF ，

∴ ∠ABF=∠BFE，

由翻折性質可得：

∠ABF＝∠EBF，AB＝BE ，

∴ ∠BFE＝∠EBF，

∴ BE＝FE，

∵ AB＝BE，

∴ AB＝FE，

∵ AB∥EF，

∴ 四邊形ABEF是平行四邊形，

又∵ BE＝FE，

∴ 平行四邊形ABEF是菱形；

(3)如圖，∵平行四邊形ABEF是菱形，

∴ AE⊥BD，BM＝FM，

，

∴ ，

∴ AM＝，

∴ 根據勾股定理得BM＝，

∴ BF＝2BM＝ ∴ DF＝BD－BF＝，

∵ EH∥CD，EF＝CD，

∴ 四邊形EFCD是平行四邊形，

∴ CE＝DF＝．