Question

如圖，已知點A (0，4) 和點B (3，0)都在拋物線上．

（1）求、n；
（2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為D，點B的對應點為C，若四邊形A BCD為菱形，求平移后拋物線的表達式；
（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AC的交點為點E，試在軸上找點F，使得以點C、E、F為頂點的三角形與△    ABE相似。

Answer 1

(1) （2）y=(x-4)²+(3) (3,0)，(4,0)解析:
(1)由---------1分，得---------2分
(2) ∵四邊形ABCD為菱形,AB=5  ∴AD=5---------1分
∴y=m(x+1-5)²+n-m     =(x-4)²+---------2分
(3) ∵C(8,0)      ∴直線AC解析式為y=x+4    ∴E(4,2),CE=---------1分
∵AC=       ∴AE
∵以點C、E、F為頂點的三角形與△ABE相似
∴F不在BC延長線上，故F在C的左側-  -1分

ⅰ時，          ∴F(3,0) ---------1分
ⅱ時         ∴F(4,0) ---------1分     ∴F(4,0)或(3,0)
（1）已知了拋物線圖象上A、B兩點的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得m、n的值．
（2）根據(jù)A、B的坐標，易求得AB的長；根據(jù)平移的性質知：四邊形一定為平行四邊形，若四邊形為菱形，那么必須滿足AB=AD，由此可確定平移的距離，根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律即可求得平移后的拋物線解析式．
（3）易求得直線AC的解析式，聯(lián)立平移后的拋物線對稱軸，可得到E點的坐標，進而可求EC、AE的長；所以以點C、E、F為頂點的三角形與△ABE相似，可分兩種情況考慮：①，②,根據(jù)上述兩種不同的相似三角形所得不同的比例線段，即可求得不同的CF長，進而可求得F點的坐標