Question

【題目】如圖，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C為弧AB上任意一點，過C點作CD⊥OB于點D，設(shè)△ODC的內(nèi)心為E，連接OE、CE，當(dāng)點C從點B運(yùn)動到點A時，內(nèi)心E所經(jīng)過的路徑長為 ________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)題意先利用內(nèi)心的性質(zhì)求出∠OEC的度數(shù)和∠COE=∠BOE，易證△COE≌△BOE，利用全等三角形的性質(zhì)得∠OEB=∠OEC=135°，從而確定出點E的運(yùn)動軌跡，則劣弧OB的長即為所求．

解：∵CD⊥OB

∴∠ODC=90°

∵點E是△ODC的內(nèi)心

∴∠OEC=90°+∠ODC=135°，∠COE=∠BOE

又∵OE=OE，OB=OC

∴△COE≌△BOE

∴∠OEB=∠OEC=135°

∴點E的運(yùn)動軌跡為：以OB為弦，并且弦OB所對圓周角為135°的一段劣弧．

設(shè)經(jīng)過點O、B、E三點的圓M如圖所示，

則∠N=180°-∠OEB=45°

∴∠M=2∠N=90°

∴OM=BM=OB=2

∴劣弧OB的長

∴內(nèi)心E所經(jīng)過的路徑長為．

故答案為：．