Question

如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=

5

．下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為

2

；③EB⊥ED；④S_△APD+S_△APB=1+

6

；⑤S_{正方形ABCD}=4+

6

．其中正確結論的序號是______．

Answer 1

由邊角邊定理易知△APD≌△AEB，故①正確；
由△APD≌△AEB得，∠AEP=∠APE=45°，從而∠APD=∠AEB=135°，
所以∠BEP=90°，
過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，則BF的長是點B到直線AE的距離，
在△AEP中，由勾股定理得PE=

2

，
在△BEP中，PB=

5

，PE=

2

，由勾股定理得：BE=

3

，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=

6

2

，
故②是錯誤的；
因為△APD≌△AEB，所以∠ADP=∠ABE，而對頂角相等，所以③是正確的；
由△APD≌△AEB，
∴PD=BE=

3

，
可知S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB=S_△AEP+S_△BEP=

1

2

+

6

2

，因此④是錯誤的；
連接BD，則S_△BPD=

1

2

PD×BE=

3

2

，
所以S_△ABD=S_△APD+S_△APB+S_△BPD=2+

6

2

，
所以S_{正方形ABCD}=2S_△ABD=4+

6

．
綜上可知，正確的有①③⑤．