Question

如圖，已知函數的圖象與y軸交于點A，一次函數 的圖象 經過點B（0，－1），并且與x軸以及的圖象分別交于點C、D．

(1)若點D的橫坐標為1，求四邊形AOCD的面積（即圖中陰影部分的面積）；
(2)在第(1)小題的條件下，在y軸上是否存在這樣的點P，使得以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形．如果存在，求出點P坐標；如果不存在，說明理由．
(3)若一次函數的圖象與函數的圖象的交點D始終在第一象限，則系數k的取值范圍是                    ．（請直接寫出結果）

Answer 1

（1）；（2）滿足條件的點P有4個：、、、；（3）.

解析試題分析：本題考查了一次函數綜合知識，難度適中，關鍵是掌握分類討論思想的運用．（1）如圖，連接OD，先求出點D的坐標，再求出BD的解析式，然后根據S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△COD即可求解；
（2）求使得以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形．分三種情況討論：①當DP=DB時；②當BP=DB時；③當PB=PD時。在三種情況下分別求出點P的坐標.
（3）交點D始終在第一象限，即點D的橫坐標x＞0.可由交點得到：kx-1=x+1，解得，由此可得；實際上本題可直接根據圖象得出答案．

試題解析：
解：（1）∵點D的橫坐標為1，點D在y=x+1的圖象上，
∴D（1，2），
∴直線BD的解析式為y=3x-1，
∴A（0，1），C（13，0），
∴
應分三種情況討論：如圖，
①當DP=DB時，點D位于BP的垂直平分線上，過點D作DE⊥y軸，則BE=PE
∵B（0，-1），D（1，2），
∴BE=BO+OE=1+2=3
∴PE=3
∴PO=5
∴點P的坐標為：
②當BP=DB時，
∴，
③當PB=PD時，點P位于BD的垂直平分線與y軸的交點上，設P（0，a），
則（a+1）²=1+（2-a）²，
解得：
∴
（3）若一次函數y=kx+b的圖象與函數y=x+1的圖象的交點D始終在第一象限，則系數k的取值范圍是：k＞1．
考點：1、一次函數的圖象與性質；2、動點問題--構造等腰三角形.