Question

【題目】如圖1，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BC延長線一點，且BC=CD，直線CE與⊙O相切于點C，與AD相交于點E．

（1）求證：CE⊥AD；

（2）如圖2，設BE與⊙O交于點F，AF的延長線與CE交于點P．

①求證：∠PCF=∠CBF；

②若PF=6，tan∠PEF=，求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②10

【解析】

（1）連結OC，說明OC是△BDA的中位線，利用中位線的性質，得到∠OCE=∠CED=90°，從而求解；

（2）①作直徑CG，連結FG，由圓周角定理求得∠G+∠FCG=90°，然后結合（1）求得∠OCE=∠PCF+∠FCG=90°，∠G=∠PCF，然后再結合同弧所對的圓周角相等，從而求解；

②連結AC，利用直徑上的圓周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PAE，△PCF∽△PAC，然后根據相似三角形的性質求得，然后根據三角函數及勾股定理求PC的值．

解：（1）連結OC．

∵直線CE與⊙O相切于點C，

∴OC⊥CE，即∠OCE=90°．

∵OA＝OB，BC=CD，

∴C是BD的中點，O是AB的中點，

∴OC是△BDA的中位線，

∴OC∥AD，

∴∠CED=∠OCE=90°，

即CE⊥AD

（2）①作直徑CG，連結FG，

∵CG是直徑，點F在圓上，

∴∠CFG=90°，

∴∠G+∠FCG=90°．

由（1）可知∠OCE=∠PCF+∠FCG=90°，

∴∠G=∠PCF．

又∵∠G=∠CBF，

∴∠PCF=∠CBF

②連結AC．

∵AB是直徑，點F在圓上，

∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA．

又∵∠EPF=∠APE，

∴△PEF∽△PAE，

∴，即PE2=PF×PA．

在直角△PEF中，tan∠PEF=，

又∵PF=6，

∴EF＝8，

由勾股定理，可求得PE＝10．

∵∠FBC=∠PCF=∠CAF，∠CPF=∠APC

∴△PCF∽△PAC，

∴，即PC2=PF×PA，

∴PC2=PE2，

則PC=PE=10