Question

如圖，在直角坐標系中，拋物線與軸交于點D（0，3）．

1.直接寫出的值；

2.若拋物線與軸交于A、B兩點（點B在點A的右邊），頂點為C點，求直線BC的解析式；

3.已知點P是直線BC上一個動點，

①當點P在線段BC上運動時（點P不與B、C重合），過點P作PE⊥軸，垂足為E，連結BE．設點P的坐標為（），△PBE的面積為，求與的函數關系式，寫出自變量的取值范圍，并求出的最大值；

②試探索：在直線BC上是否存在著點P，使得以點P為圓心，半徑為的⊙P，既與拋物線的對稱軸相切，又與以點C為圓心，半徑為1的⊙C相切？如果存在，試求的值，并直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.．……………………………（2分）

2.由（1）知拋物線為：

∴頂點C坐標為（1，4）    ……………………………（3分）

令   ∴ B（3，0）……………………（4分）

設直線BC解析式為：（），把B、C兩點坐標代入，

得 解得．

∴直線BC解析式為．……………………（5分）

3.①∵點P（x，y）在的圖象上，

∴PE，OE  ……………………（6分）

∴PE·OE

∴………………（7分）

  ．

符合，

∴當時，s取得最大值，最大值為．……（8分）

② 答：存在．

如圖，設拋物線的對稱軸交x軸于點F，則CF=4，BF=2.

 過P作PQ⊥CF于Q，則Rt△CPQ∽Rt△CBF

∴  ∴CQ=2r……………（9分）

當⊙P與⊙C外切時，CP．

解得舍去）．……………（10分）

此時．……………………（11分）

當⊙P與⊙C內切時，CP．

．

解得舍去）．……………………（12分）

此時．

∴當時，⊙P與⊙C相切．

點P的坐標為，

．……………………（13分）

解析:略