Question

如圖，有一個圓O和兩個正六邊形T₁，T₂． T₁的6個頂點都在圓周上，T₂的6條邊都和圓O相切（我們稱T₁，T₂分別為圓O的內接正六邊形和外切正六邊形）．
（1）設T₁，T₂的邊長分別為a，b，圓O的半徑為r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六邊形T₁，T₂的面積比S₁：S₂的值．

Answer 1

分析：（1）根據圓內接正六邊形的半徑等于它的邊長，則r：a=1：1；在由圓的半徑和正六邊形的半邊以及正六邊形的半徑組成的直角三角形中，根據銳角三角函數即可求得其比值；
（2）根據相似多邊形的面積比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再進一步求得其面積比．

解答：解：（1）連接圓心O和T₁的6個頂點可得6個全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
連接圓心O和T₂相鄰的兩個頂點，得以圓O半徑為高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°=

3

：2；

（2）T₁：T₂的邊長比是

3

：2，所以S₁：S₂=（a：b）²=3：4．

點評：計算正多邊形中的有關量的時候，可以構造到由正多邊形的半徑、邊心距、半邊組成的直角三角形中，根據銳角三角函數進行計算．注意：相似多邊形的面積比即是其相似比的平方．