Question

如圖，有一個圓O和兩個正六邊形T₁，T₂．T₁的6個頂點都在圓周上，T₂的6條邊都和圓O相切（我們稱T₁，T₂分別為圓O的內接正六邊形和外切正六邊形）．若設T₁，T₂的邊長分別為a，b，圓O的半徑為r，則r：a=

 

；r：b=

 

；正六邊形T₁，T₂的面積比S₁：S₂的值是

 

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，連接OE、OG，OF，由正六邊形T₁，得到∠EOF為60°，從而得到△EOF為等邊三角形，即a=r，故得到a：r=1：1；在Rt△EOG中，由OG為角平分線，得到∠EOG=30°，利用特殊角的三角函數可求出OE及OG的長，即為r：b的比值，然后求出a：b的比值，根據正六邊形T₁，T₂相似，其面積之比等于邊長之比的平方，即可求出面積之比．

解答：解：連接OE、OG，OF，
∵EF=a，且正六邊形T₁，
∴△OEF為等邊三角形，OE為圓的半徑r，
∴a：r=1：1；
由題意可知OG為∠FOE的平分線，即∠EOG=

1

2

∠EOF=30°，
在Rt△OEG中，OE=r，OG=b，
∵

OE

OG

=

r

b 2

=cos∠EOG=cos30°，即

r

b

=

3

2

，
∵r：a=1：1①；r：b=

3

：2②；
∴②：①得，a：b=

3

：2，且兩個正六邊形T₁，T₂相似，
∴S₁：S₂=a²：b²=3：4．
故答案為：r：a=1：1；r：b=

3

：2；S₁：S₂=3：4．

點評：本題考查的是正多邊形和圓及特殊角的三角函數值，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，再由三角函數的定義及特殊角的三角函數值求解．