Question

在△ABC中，∠BAC的平分線AD交△ABC的外接圓⊙O于點E，交BC于點D，過點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F，若AD=，DE=．
求證：
（1）EF∥BC；
（2）AF=2EF．

Answer 1

證明：（1）連接OE．
∵EF切⊙O于點E，則OE⊥EF．
∵AE平分∠BAC，∴．
∴OE⊥BC．
∴EF∥BC．

（2）∵EF∥BC，AD=，DE=．
∴AD：DE=AB：BF=3：1．
∴BF=AF．
∵FE是切線，FA是割線，
∴EF²=FB•FA=FA²，
∴EF=FA，即AF=2EF．
分析：（1）連接OE，則OE⊥EF；根據圓周角定理知點E是弧BC的中點，所以由垂徑定理知OE⊥BC，故EF∥BC；
（2）根據EF∥BC得AD：DE=AB：BF=3：1．根據切割線定理得EF與AF的關系式．
點評：此題考查切線的性質、平行線分線段成比例、切割線定理等知識點，綜合性較強，難度較大．