Question

平移拋物線F₁，使其經過F₁的頂點A，得到拋物線F₂，設F₂的對稱軸分別交F_l、F₂于點D、B，點C是點A關于直線BD的對稱點．
（1）如圖1，若F₁：y=x²，平移后得到F₂，使得四邊形ABCD為正方形，求F₂的解析式；
（2）如圖2，將（1）中“y=x²”改為“y=ax²+bx+c”，其余條件不變，求正方形ABCD的面積（用含有a的代數式表示）；
（3）如圖3，將（1）中“y=x²”改為“y=x²-x+”，“正方形ABCD”改為“AC=2，且點P是直線AC上的動點”，求點P到真線AD的距離與到點D的距離之和的最小值．

Answer 1

解：（1）由F₁：y=x²，平移后得到F₂，使得四邊形ABCD為正方形，可以得出F₂的頂點坐標為（a，-a），D點的坐標為（b，b），
b=b²，
解得：b=0或3，0不合題意舍去，
故：D（3，3），F₂的頂點坐標為（a，-a），代入y=（x-a） ²-a，
解得：F₂的頂點坐標為（3，-3），
∴y=（x-3）²-3，

（2）∵設F₁頂點坐標為A（m，n），平移距離為t，則C點坐標：C（m+2t，n）．
平移之后的解析式：F₁頂點A坐標為A（m，n），
所以F₁可以表示為y=a（x-m）²+n，
則平移之后的解析式為y=a（x-m-t）²+n-t ①
將C點坐標代入①式，得到n=at²+n-t，
即at²-t=0，所以t=
∴正方形面積=2t²=；

（3）當點C在點A的右側時（如圖1），
設AC與BD交于點N，
拋物線y=x²-x+，配方得y=（x-1）²+2，
其頂點坐標是A（1，2），
∵AC=2，
∴點C的坐標為（1+2，2）．
∵F₂過點A，
∴F₂解析式為y=（x-1-）²+1，
∴B（1+，1），
∴D（1+，3）
∴NB=ND=1，
∵點A與點C關于直線BD對稱，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四邊形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于點H，則PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是點B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高h．
∵DN=1，AN=，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等邊三角形．
∴h=AD=
∴最小值為 ．
當點C在點A的左側時（如圖2），同理，最小值為 ．
綜上，點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為 ．

分析：（1）由F₁：y=x²，平移后得到F₂，使得四邊形ABCD為正方形，可以得出F₂的頂點坐標為（a，-a），D點的坐標為（b，b），進而求出已知坐標，即可得出a，b的值，進而求出F₂的解析式；
（2）設F1頂點坐標為A（m，n），平移距離為t，則C點坐標：C（m+2t，n），求出平移之后的解析式，進而得出t的值，從而求出正方形面積；
（3）要分情況討論點C在點A的左邊還是右邊，作PH⊥AD交AD于點H，則PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．
點評：此題主要考查了考生的作圖能力以及二次函數的平移的性質和正方形的性質等知識，此題難度較大，靈活運用二次函數與正方形性質是解決問題的關鍵．