Question

平移拋物線F₁，使其經(jīng)過F₁的頂點A，得到拋物線F₂，設(shè)F₂的對稱軸分別交F_l、F₂于點D、B，點C是點A關(guān)于直線BD的對稱點．
（1）如圖1，若F₁：y=

1

3

x²，平移后得到F₂，使得四邊形ABCD為正方形，求F₂的解析式；
（2）如圖2，將（1）中“y=

1

3

x²”改為“y=ax²+bx+c”，其余條件不變，求正方形ABCD的面積（用含有a的代數(shù)式表示）；
（3）如圖3，將（1）中“y=

1

3

x²”改為“y=

1

3

x²-

2

3

x+

7

3

”，“正方形ABCD”改為“AC=2

3

，且點P是直線AC上的動點”，求點P到真線AD的距離與到點D的距離之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）由F₁：y=

1

3

x²，平移后得到F₂，使得四邊形ABCD為正方形，可以得出F₂的頂點坐標(biāo)為（a，-a），D點的坐標(biāo)為（b，b），進而求出已知坐標(biāo)，即可得出a，b的值，進而求出F₂的解析式；
（2）設(shè)F1頂點坐標(biāo)為A（m，n），平移距離為t，則C點坐標(biāo)：C（m+2t，n），求出平移之后的解析式，進而得出t的值，從而求出正方形面積；
（3）要分情況討論點C在點A的左邊還是右邊，作PH⊥AD交AD于點H，則PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．

解答：解：（1）由F₁：y=

1

3

x²，平移后得到F₂，使得四邊形ABCD為正方形，可以得出F₂的頂點坐標(biāo)為（a，-a），D點的坐標(biāo)為（b，b），
b=

1

3

b²，
解得：b=0或3，0不合題意舍去，
故：D（3，3），F(xiàn)₂的頂點坐標(biāo)為（a，-a），代入y=

1

3

（x-a） ²-a，
解得：F₂的頂點坐標(biāo)為（3，-3），
∴y=

1

3

（x-3）²-3，

（2）∵設(shè)F₁頂點坐標(biāo)為A（m，n），平移距離為t，則C點坐標(biāo)：C（m+2t，n）．
平移之后的解析式：F₁頂點A坐標(biāo)為A（m，n），
所以F₁可以表示為y=a（x-m）²+n，
則平移之后的解析式為y=a（x-m-t）²+n-t ①
將C點坐標(biāo)代入①式，得到n=at²+n-t，
即at²-t=0，所以t=

1

a

∴正方形面積=2t²=

2

a2

；

（3）當(dāng)點C在點A的右側(cè)時（如圖1），
設(shè)AC與BD交于點N，
拋物線y=

1

3

x²-

2

3

x+

7

3

，配方得y=

1

3

（x-1）²+2，
其頂點坐標(biāo)是A（1，2），
∵AC=2

3

，
∴點C的坐標(biāo)為（1+2

3

，2）．
∵F₂過點A，
∴F₂解析式為y=

1

3

（x-1-

3

）²+1，
∴B（1+

3

，1），
∴D（1+

3

，3）
∴NB=ND=1，
∵點A與點C關(guān)于直線BD對稱，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四邊形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于點H，則PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是點B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高h(yuǎn)．
∵DN=1，AN=

3

，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等邊三角形．
∴h=

3

2

AD=

3

∴最小值為

3

．
當(dāng)點C在點A的左側(cè)時（如圖2），同理，最小值為

3

．
綜上，點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為

3

．

點評：此題主要考查了考生的作圖能力以及二次函數(shù)的平移的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)等知識，此題難度較大，靈活運用二次函數(shù)與正方形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．