Question

正方形網格中，小格的頂點叫做格點，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．下圖1中的正方形網格中△ABC是格點三角形，小正方形網格的邊長為1（單位長度）．
（1）△ABC的面積是

 

（平方單位）；
（2）在圖2所示的正方形網格中作出格點△A′B′C′和△A″B″C″，使△A′B′C′∽△ABC，△A″B″C″∽△ABC，且AB、A′B′、A″B″中任意兩條線段的長度都不相等；
（3）在所有與△ABC相似的格點三角形中，是否存在面積為3（平方單位）的格點三角形？如果存在，請在圖3中作出，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）△ABC的面積可以用正方形的面積減去其周圍三個直角三角形的面積．
（2）利用格點正方形將三角形ABC的三邊分別求出來，利用相似三角形對應邊成比例得到相應的三角形的三邊長，在格點正方形中畫出來即可；
（3）假設存在這樣的三角形，從存在出發，經過推理得到矛盾后即可說明不存在這樣的三角形．

解答：解：（1）S_△ABC=4×4-

1

2

×1×2-

1

2

×3×4+

1

2

×2×4=16-1-6-4=5；
（2）如圖

   我們可以知道AB為

5

，BC為

20

，為AB長的兩倍．且AB與BC是垂直的．

（3）若存在該三角形，命名為A′′′B′′′C′′′與ABC相似．
   因為BC長為AB長的兩倍所以B′′′C′′′長為A′′′B′′′長的兩倍．
  

1

2

×A′′′B′′′×B′′′C′′′=（A′′′B′′′）²=3，
    A′′′B′′′=

3

，
    而

3

是不可能由格點三角形構成，所以不存在．

點評：本題考查了勾股定理及相似三角形的知識，特別本題中所涉及到的格點圖形更是近幾年中考的高頻考題．