Question

如圖，兩個同心圓的圓心是O，大圓的半徑為13，小圓的半徑為5，AD是大圓的直徑．大圓的弦AB，BE分別與小圓相切于點C，F．AD，BE相交于點G，連接BD．

(1)求BD 的長；

(2)求∠ABE+2∠D的度數；

(3)求的值．

 

Answer 1

 

（1）10

（2）180°

（3）

解析:解: (1)連接OC.

∵AB是小圓的切線,C是切點,

∴OC⊥AB,

∴C是AB的中點.   …………………1分

∵AD是大圓的直徑,

∴O是AD的中點.

∴OC是△ABD的中位線.

∴BD=2OC=10.  ………………………2分

(2)由(1)知C是AB的中點.

同理F是BE的中點.

由切線長定理得BC=BF.

∴BA=BE.                           ………………………………3分

∴∠BAE=∠E.

∵∠E=∠D,  ………………………………………………………………4分

∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180º.    …………………………5分

(3)在Rt△OCB中,

∵OB=13,  OC=5,

∴BC=12.      ……………………………………………………………6分

由(2)知∠OBG=∠OBC=∠OAC.

∵∠BGO=∠AGB,

∴△BGO∽△AGB.    ……………………………………………………7分

∴.  ……………………………………8分