Question

已知關于x的方程x²+x+a-a²=0和x²-（3a-1）x+（2a+1）（a-2）=0．問是否存在這樣的a值，使得第一個方程的兩實根的平方和等于第二個方程的一個整數根？若存在，求出這樣的a值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：第一個方程x²+x+a-a²=0，即有（x+a）（x+1-a）=0，
∴x₁=-a，x₂=a-1，
故x₁²+x₂²=a²+（a-1）²=2a²-2a+1，
由第二方程x²-（3a-1）x+（2a+1）（a-2）=0，
得[x-（2a+1）][x-（a-2）]=0，
x₃=2a+1，x₄=a-2，
若x₃為整數，則2a²-2a+1=2a+1，解得a=0或2，此時x₃=1或5，
若x₄為整數，則2a²-2a+1=a-2，即2a²-3a-3=0，此方程無實數根，
綜上可知，當a=0或2時，第一個方程的兩個實數根的平方和等于第二個方程的一個整數根．
分析：可把兩個方程都進行因式分解，得到用字母表示的未知數的值，根據第一個方程的兩實根的平方和等于第二個方程的一個整數根求解．
點評：解決本題的關鍵是根據所給條件得到兩根，再根據題中所給的關鍵話得相應的等量關系．