Question

已知關于x的方程x²-（3k+1）x+2k²+2k=0
（1）求證：無論k取何實數值，方程總有實數根．
（2）若等腰△ABC的一邊長為a=6，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程根的判別式，當△≥0時，方程有兩個實數根，所以只需證明△≥0即可．
（2）利用求根公式計算出方程的兩根x₁=3k-1，x₂=2，則可設b=2k-1，c=2，然后討論：當a、b為腰；當b、c為腰，分別求出邊長，但要滿足三角形三邊的關系，最后計算周長即可．

解答：（1）證明：△=[-（3k+1）]²-4×1×（2k²+2k），
=k²-2k+1，
=（k-1）²，
∵無論k取什么實數值，（k-1）²≥0，
∴△≥0，
所以無論k取什么實數值，方程總有實數根；

（2）x²-（3k+1）x+2k²+2k=0，
因式分解得：（x-2k）（x-k-1）=0，
解得：x₁=2k，x₂=k+1，
∵b，c恰好是這個方程的兩個實數根，設b=2k，c=k+1，
當a、b為腰，則a=b=6，而a+b＞c，a-b＜c，所以三角形的周長為：6+6+4=16；
當b、c為腰，則k+1=2k，解得k=1，
∴b=c=2，因為6，2，2不構成三角形，∴所以這種情況不成立；
當a、c為腰 k+1=6 則k=5，
∴b=10，
∴三角形的周長為：6+6+10=22．
綜上，三角形的周長為16或22．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了三角形三邊的關系以及分類討論思想的運用．