Question

已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC⊥BD于點P，OE⊥AB于點E，F(xiàn)為BC延長線上一點．
（1）求證：∠DCF=∠DAB；
（2）求證：OE=

1

2

CD；
（3）當(dāng)圖1中點P運動到圓外時，即AC、BD的延長線交于點P，且∠P=90°時（如圖2所示），（2）中的結(jié)論是否成立？如果成立請給出你的證明，如果不成立請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形外角的性質(zhì)可以得到∠DCF=∠CBD+∠CDB，再根據(jù)∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB即可得到結(jié)論；
（2）連接AO并延長交⊙O與點G，連接GB，利用三角形中位線的性質(zhì)即可得到OE=

1

2

CD．
（3）結(jié)論仍然成立，證明方法同（2）．

解答：（1）證明：∵∠DCF是△BDC的外角，
∴∠DCF=∠CBD+∠CDB．
∵∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB，
∴∠DCF=∠DAB．（1分）

（2）解：連接AO并延長交⊙O于點G，連接GB，
∵AG過O點，為圓O直徑，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于點E，
∴E為AB中點．
∴OE=

1

2

BG．
∵AC⊥BD，
∴∠APD=90°．
∴∠DAP+∠ADP=90°．
∵∠BAG+∠G=90°．且∠ADP=∠G，
∴∠DAP=∠BAG．
∴CD=BG．
∴OE=

1

2

CD．（4分）

（3）解：（2）的結(jié)論成立．
證明：連接AO并延長交⊙O于點G，連接GB，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于點E，
∴E為AB中點．
∴OE=

1

2

BG．
由（1）證明可知，∠PDA=∠G，
∴∠PAD=∠BAG．
∴CD=BG．
∴OE=

1

2

CD．（7分）

點評：本題考查了圓周角定理、三角形中位線定理垂徑定理等知識，是一道難度較大的綜合題目．